Coincidence detection of two curves and surfaces has a wide application in computer aided design (CAD) and computer aided geometric design (CAGD). Proper reparameterization is the most complicated part in the detection. This paper presents and proves efficient and necessary coincidence condition for two rational Bézier curves in a new way. It also proposes an effective and efficient proper reparameterization method, Algorithm 1, for detecting a rational Bézier curve which can be degenerated into a new one of a lower degree. Numerical proper reparameterization method, Algorithm 2, and examples are also presented. Algorithm 1 is up to ten times faster than the algorithm other prevailing methods, and Algorithm 2 is twice faster and half closer than other prevailing methods. New CAD systems using Algorithm 1 and Algorithm 2 will hold accuracy and little computation time.

中文摘要：

1、研究背景（context）。
曲线曲面的重合检测在CAD/CAGD方面有着广泛的应用。比如在曲线曲面求交问题中，如不事先进行重合检测，则会导致无限细分的问题。此外，在工业零件检索技术中，曲线曲面的重合检测也有应用前景。在曲线曲面重合检测中，首先要对曲线曲面进行退化检测，将其转化为对应的非退化曲线曲面。
2、目的（Objective）：
我们的研究目标是设计一个鲁棒性的Bézier曲线重合检测系统，该系统包括Bézier曲线的退化算法，和新的参数曲线适当重新参数化，特别是Bézier曲线的适当重新参数化。
3、方法（Method）：
我们提出了两种算法，用于对平面Bézier曲线进行适当的重新参数化。一个用于精确的重新参数化退化，另一个用于近似重新参数化退化。我们通过分离分子部分多项式并计算分离多项式的gcd（最大公约数）或ε-gcd（近似最大公约数）来找到重新参数化函数。 我们通过将我们的算法与现有的算法进行 ACT（实际计算时间）和 HD（Hausdorff 距离）对比来评估我们的算法。
4、结果（Result & Findings）：
根据比较，我们的算法显示出比以往最好的算法更好的效率和有效性。 5.1.2 和 5.2.2 节中的表 1 和表 2 显示了精确的比较。 我们的算法现在只适用于平面Bézier曲线。
5、结论（Conclusion）：
本文研究有理Bézier曲线的重合与退化问题，具有理论和实际意义。首先用新的方法证明了两条同次有理Bézier曲线的重合条件。还提出了用于精确和近似地重新参数化有理Bézier曲线退化的新算法。利用这些算法，对于给定的有理Bézier曲线，可以得到对应的不可退化的最低阶有理Bézier曲线，其形状精确或近似地与给定的曲线重合。同时，还将计算重新参数化函数。新算法可应用于两个有理Bézier曲线重合检测的预处理阶段，将有利于CAD系统的健壮性。数值算例表明，算法1和算法2比其他主流方法具有更好的效率和有效性。
至于未来的工作，有趣的是找到更多情况的重合条件，例如有理Bézier曲线和有理Bézier曲面之间的重合条件或两个有理Bézier表面之间的重合情况。基于本文思想的有理Bézier曲面重参数化退化方法也值得研究。

Key words: rational Bézier curves, coincidence condition, control polygon, degeneration, proper reparameterization;