摘要: 1．本文的创新点
自06年以来，代数免疫一直是人们分析布尔函数时所关注的重要问题之一。一般情况下，随机选取一个大变元的平衡布尔函数，很容易达到代数免疫度最优，但现有的函数构造方法却往往不能产生代数免疫度最优的函数。这篇文章通过在Siegenthaler的级联构造法中引入代数免疫性，重新审视了具有好的密码学性质的布尔函数的构造问题，从而得出了一类具有一阶弹性、最优代数次数、最高代数免疫度以及高非线性度的偶变元函数。在考虑两个函数级联时，我们引入了最高次项LT(the leading terms)的概念，函数及其零化子的最高次项是决定代数次数和代数免疫度是否最优的一个重要指标。 2．实现方法
本文首先定义了等价类的概念，来包含一类具有相同的变元个数、重量、代数次数、代数免疫度和最高次项等性质的函数。然后，从两个互相关联的等价类（镜像类）出发，各找出一对函数来进行级联，就能得到具有好的密码学性质的布尔函数。把函数的支撑向量排成一个矩阵，作为某一线性分组码的生成矩阵，从而证明了一定存在一对函数分别来自于两个互为镜像的等价类，它们有非平凡的关系。通过对变元进行置换，我们一定可以把偶变元的双最优一阶弹性函数类分解成两个次数最优、代数免疫至少次优的两等价类的级联。 3．结论及未来待解决的问题
本文给出了一个二次构造的方法，来得到一类有一阶弹性、最高代数次数、最忧代数免疫度以及高非线性度的偶变元函数。其中我们级联的两个函数f和g，不必是平凡的：g(x)=f(x) 或g(x)=f(x+1)。应用这种方法，本文能得到6元双最优的一阶弹性函数，其非线性度达到最大值24，以及16元代数免疫最优的一阶弹性函数，非线性度为32544，即非线性度几乎最优。此外，应用同样的方法，我们能构造一阶弹性、最高代数次数、次优代数免疫度的奇变元函数。但是，对于某一偶变元n，这个构造方法不能得到所有的双最优一阶弹性函数。本文也没有考虑对这类函数的计数问题，因为计数涉及函数自顶向下的分解，当分解出的两个函数或其零化子具有相同的最高次项时，问题就会非常复杂。除了变元个数很小的情况，本文的构造方法究竟能达到的多高的非线性度尚需进一步研究。 4．实用价值或应用前景
当考虑代数免疫最优时，现有的构造方法所得到函数的非线性度下界仍不是很高。本文把代数免疫与传统的代数次数、非线性度等指标联系起来，得到了一类具有高非线性度的布尔函数。通过应用文中的构造方法，我们只要找到非线性度更高的最优代数免疫的奇变元平衡函数，就能级联出具有更好非线性度的最优代数免疫的一阶弹性偶变元函数，因此该构造方法具有很好的适应性。