摘要: 1、研究背景
动态几何是几何约束求解的重要应用，被广泛应用于教学辅助中，是深入基础数学学科的教育信息化工具。有研究表明，利用动态几何软件可交互性的特点，可有效降低学生学习过程中的认知负荷，提高学习效果。同时，动态几何软件也是机器证明研究的基础平台，几何专家（Geometry Expert，GEX）中的自动推理和证明实现了面积法为代表的不变量方法，以及包括吴方法、Gr?bner基方法为代表的代数方法。GeoGebra（GGB）是一款著名的动态几何软件，具有自动发现点的轨迹的能力，使得用户在基本几何中进行猜想、检测和证明。
动态几何软件这种动态直观的特点受到了以教师和学生为代表的用户热烈欢迎，然而实现完善的拖动模式是十分具有挑战性的任务。大部分著名的软件在使用过程出现了一些与用户预期及几何知识有所不相容的表现，具体表现为在某些临界点的位置，无法正确处理特定类型的元素发生退化。
2、目的（Objective）
可到达性问题（Reachability Problems）是描述带有许多模型和抽象概念，具有若干计算过程背景下的基本问题。该类问题广泛出现并应用于各个领域，包括地理信息系统、机器人、运动规划、CAD/CAM以及互联网寻址等。涉及到可到达性问题的另一个新兴领域是动态几何。在该领域中，可到达性问题可以描述为：对于定义好的几何构造序列具有两个实例I_s、I_e，其中I_s为起始实例，I_e为终止实例，在满足几何构造约束的前提下，是否存在从实例I_s到I_e的连续路径。
本文主要目的是为解决在动态几何系统中，当有图形临界点存时，仍然可以计算得到从起始实例到终止实例的连续路径。
3、方法（Method）
根据近代欧氏几何扩展的圆定义，使得直线也纳入了圆的范畴。圆可以按照通常的定义有圆心和半径的真正的圆，也可以指一条直线。后一种情况，圆心用这条直线的垂线上的无穷远点来表示，半径的倒数用数值0代替，即半径为无穷大。有时将一条直线于无穷远点的组合作为圆处理十分有用。
得益于近代欧氏几何对图形的定义的启发，我们意识到对几何图形的抽象层次的高低，决定了临界点几何图形退化时是否能正确计算和定义。基于此，提出了建立更为抽象的领域模型：几何元素（Element）对象作为聚合根，同时将其约束关系（Constrain）、约束对象（ConstrainObject）显示的定义出来。并以复合的关系代替了继承的关系，以便在Element生命周期中可以动态的修改其约束关系与约束对象，达到在计算连续路径时动态修改输出的几何元素类型的效果。基上述的领域模型设计了新的动态几何系统更新算法。
4、结果（Result&Findings）
经过实验分析，与知名的动态几何系统进行了对比。本文提出的方法实现的动态几何系统，可以在动态变化过程中正确的计算和定义常见的几何临界点图形发生退化的情形，包括：三点确定的圆、作反演变换的圆、已知焦点与椭圆上一点确定的椭圆、平面上多点确定的凸包等。利用这一特性，能提高用户的作图效率，并能探究和演示更为一般的几何性质，扩大了动态几何系统的应用范围。
5、结论（Conclusions）：
通过深入研究几何作图领域的相关知识，并将该知识显性地表达到领域模型设计过程，改进了原有的动态几何系统的数据结构并设计相应的更新算法，使得动态几何系统能否更好地满足几何直观及近代欧氏几何理论。在学习和探究的过程中，临界点往往是需要重点考察和研究的情况。在动态几何系统中，完备地处理了在动态作图过程中由于临界点的一类退化问题。由于是基于领域知识及基础数据结构的改进，该方法同样适用于在三维动态几何中的相关问题。极大地提高了动态作图的完备性，也给用户提供了更为可靠、便利的交互环境。