摘要: 对于空间中指定三角剖分或四边剖分的散乱数据，我们常需要通过这些空间数据点构造一光滑插值曲面。此问题广泛应用于逆向工程、实体建模、医疗图像处理、科学计算可视化等各个领域。此外，为了对插值曲面进行局部调整，有时也指定了空间数据点处的切平面或法线方向。对于这类插值曲面，我们称之为 Hermite 插值曲面 (HIS) 。 除细分方法外，插值曲面的构造方法可分为两类：隐式方法，插值曲面由 f(x,y,z)=0 定义；参数方法，插值曲面由 S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 定义。作为隐式方法， Dahmen 采用了具有 Bernstein-Bezier 形式的二次隐式代数曲面片来构造 HIS 。其后，为了减少插值曲面的片数及克服一些形状控制问题，出现了各种改进工作 3,7,12,24,26 。此外，高和李采用了 Blending 方法来生成隐式插值曲面，而 Turk 和 O'Brein 采用变分方法来构造。 关于参数插值曲面构造的研究综述一般是先在每三角剖分面上构造边界曲线，而后再用一片或多片插值曲面去填充这些曲线网格。然而角矢扭曲及形状缺陷问题可能会出现。 本文中，我们给出的参数插值曲面含分片三角及分片四边两种曲面，它们由满足一定几何约束的移动三次 Bezier 曲线生成。这是一种生成约束曲面的一般性方法，我们可以用它来把一个多边形模型转化成参数曲面，对 3D 物体进行形变，构造 blending 曲面及补 n 边洞等。此处我们考虑用其来构造 HIS 。它的构造主要包括以下几个主要步骤：1) 构造边界曲线，这是一条具有最小能量的三次 Bezier 曲线，并同时保留一自由参变量以对最终插值曲面的形状给出控制。 2) 在每条边界曲线上指定相应的二次法向量，其与边界曲线的切向量相垂直。 3) 构造拟插值曲面，它覆盖四边或三角域上的曲线网格并部分插值于其上法向量。此处，我们引入了具有最小能量的控制曲线，由此降低了曲面次数并很好的控制了曲面的形状。最后所得的拟插值曲面可用一双三次 Bezier 曲面片来表达。4) 通过对拟插值曲面的凸组合，我们得到了具有 G1 连续性的参数插值曲面，构成了最终的 HIS 。基于向量运算，我们给出了插值曲面的完全显式解，保证了曲面的快速生成。 同时，为了实现对此算法的支持，我们编制了一动态插值建模软件 DISM ，我们可以通过对插值点以及其上法向量的动态控制来实现曲面的动态生成与形变。 DISM 具有如下特点：1)3D 点可以通过一种动态交互的方式生成；2) 当三角或四边剖分指定后，我们的插值曲面可以自动生成；3) 当用户改变了点或法向量值，相应的插值曲面可以连续改变，这也可看成物体的形变。因此， DISM 给我们提供了一种生成物体并进行形变的简易方法。