摘要: 知识科学中最基本的问题是要搞清楚知识的数学本质，也就是要回答“从数学的观点来看，知识是什么”这样一个问题。我们认为知识是结构化的信息，是用于消除信息的无结构性的。因此，描述知识本质的最好数学工具就是范畴论。为了兼顾知识的语义，我们引进类型的概念，提出带类型范畴论。 一个带类型范畴是一个四元组 K = (O, M, G, T ) ， 其中 O 是一组对象 , M 是一组态射 , 每个态射有一个类型， 表示 f 是从 a 到 b 的态射，具有类型 t 。 所有的类型构成集合 G 。当两个态射组合时，它们的类型也相应地组合。类型组合是一个二元运算。并非任意两个类型都可以组合。 T 是一组类型组合规则，规定了哪些类型可以组合，以及组合后的新类型是什么。任意两个首尾相接的态射的类型一定是可以组合的。正像态射的组合满足结合律一样，类型的组合也满足结合律。恒等态射对应的类型是幺元类型 u 。幺元类型可以和任何类型组合，并且保持组合另一方的类型不变。 例如，所有的抽象知识库的全体可以用带类型范畴加以描述。 给定两个带类型范畴 K 1 和 K 2 ，一个从 K 1 到 K 2 的（协变）函子 F 具有通常范畴论函子的所有性质，同时还保持类型的协变性，即相对于类型组合来说，它是类型集 G 1 到 G 2 的同态，使幺元的映像仍是幺元，恒等态射的映像仍是恒等态射。 带类型范畴 K 1 是 K 2 的子范畴，如果在通常范畴论的意义上前者是后者的子范畴，并且所有的类型和类型组合规则都保持不变。带类型范畴 K 1 是 K 2 的反范畴，如果在通常范畴论的意义上前者是后者的反范畴，并且前者的类型集 G 1 和后者的类型集 G 2 之间有一个逆变关系 , 即：把 G 1 中的每个类型 t 在 G 2 中的对应类型 OP (t) 看成是它的逆 t -1 ，则有逆变规则 OP (t ′ s) = OP (s) ′ OP (t) 。并且幺元的对应类型也是幺元。 把范畴论的概念推广到带类型范畴论带来了某种语义表述的功能。实际上，为态射添加类型就是为信息或知识之间的联系添加语义。在范畴论中添加类型还可以把范畴论的抽象推理能力和领域知识特点结合起来。例如，定义一个问题归约范畴有所有的问题类组成。就问题类的时间或空间复杂性来说，它们之间可以有多项式归约或指数归约。利用带类型的锥和共锥的概念可以证明在一定的条件下，问题归约锥中的所有归约要么全是多项式复杂的，要么全是指数复杂的。 进一步把带类型范畴的概念推广为类范畴，可以描述不完全和有缺陷的知识，以及不完全知识和有缺陷知识消除缺陷和完备化的过程。所谓类范畴，就是放弃了带类型范畴中两个首尾相接的态射一定能组合成第三个态射，且它们的类型也相应组合这一要求。对象间态射的缺失意味着知识内部结构性的缺失，从而产生了对各种知识不完备性以及不完备知识完备化的范畴论意义上的研究。本文对此仅仅是一个开头。