摘要: 在机器学习，模式识别以及数据挖掘等诸多研究领域中，都摆脱不了对特征数据的“维数诅咒” (the curs of dimensionality) 这一中心问题的考量。因此，特征数据的降维方法，即将高维的特征数据如何进行简化投射到低维空间中再进行处理，成为了当前数据驱动的计算方法研究热点之一。根据先前的研究表明，大多数情况，特征数据是分布在弯曲的流形空间中，研究非线性的降维方法势在必行。 本文所提出的方法，就是一种基于统计模型的非线性空间嵌入。这种新方法假设了原始数据空间中数据之间一个仿射度量与贝努利分布相关。为保持局部邻接属性和全局相似性，本文构造了一个对数函数来衡量降维后的数据相关性。进一步，数据降维的结果可通过与两个空间相关度量的最大似然解得到。通过分析可知，这一结果等价于寻求两空间中度量函数的 Bregman 距离最小化。为快速求解这一优化问题，本文给出了一种基于凸性边界条件判别的块松弛迭代算法。它可视为二阶牛顿迭代算法的特例。 在计算机图形学中，纹理映射是增强绘制真实感的关键技术。该技术可抽象为构造映射将一个三维空间曲面在二维定义域中摊平，而如何降低映射的扭曲程度成为难点所在。目前的主流方法基于网格曲面的邻接结构，并需要求解大型稀疏线性系统。这类方法需要小心的选择边界条件，并容易出现中心压缩扭曲现象。根据本文的一般化数据降维模型，作者提出了一种新颖的纹理映射解决方案。为更好的衡量曲面上点数据之间的相关性，本文选择计算测地距离来取代原模型中的仿射度量部分，实验证明能取得良好效果。为进一步用于复杂几何模型的纹理映射，作者考察了将本文降维方法与当前主流的模型自动分片技术相结合的情况，报告了相应的计算性能。同时，本文还提及了用降维结果作为扭曲矫正的初值进行进一步优化的方案，以弥补基于降维方法的会出现边界折叠这一不足。由于本文方法并不依赖于网格曲面的拓扑结构，可同时适用于网格模型和点模型的纹理映射应用。 总之，本文提出的降维方法可认为是一种基于统计模型的参数化多维缩放 (multi-dimensional scaling)。所研究的问题和相关结果，不仅对机器学习和数据挖掘领域的理论探索具有积极意义，也适合于计算机图形学和几何建模相关人员参考应用。