摘要: 在各种建模方法中，一个自然的思路就是将复杂的物体表示为一些简单物体的组合，这些简单的物体称为图元。这就是实体建模的概念，更专业地说，就是实体构建几何（ CSG ）。 CSG 通过布尔运算能对图元进行自然、简便和快速的组合操作。但是，要得到所构建物体的外表面，也就是相关隐函数的零集合，需要对隐函数进行显示求解或使用一些面片生成算法如 Marching Cubes 算法。而这些面片生成算法只是对理论上的表面进行逼近生成，因而在处理由 CSG 树生成的隐函数时，需要对尖锐边进行特殊的处理。当然，表达的紧凑性也是需要考虑的重要因素。一般地，在表达的紧凑性与可表达的形状范围之间要进行折中处理。隐函数的表达比较复杂，但只需少量的系数；而参数化的面常常需要很多复杂的控制网格，因而要存储更多的数据，但是参数面，如 NURBS 曲面或子分曲面，能够进行简单的编辑操作并能直接对曲面和它上面的法向和高阶导数进行计算。最近， Gielis 等人将超二次曲面扩展为超形以更好地表达自然形体。超形有两个值得重视的特点。第一是它们能简便地表示规则多边形或有各种对称性的自然形体，这样它们就能很方便地表示花朵或机械零件这类物体。第二是它们是对偶表达的，一个参数化的表达一定与一个隐式的表达相对应。如此，参数化的表达能精确地计算曲面的顶点，而同时，隐示表达能直接判断出物体的内部或外部。 本文基于各向同性的一些性质提出一种新的超形函数，它能更简单、更自然地生成超形，并能更方便地进行实体建模。为验证本文方法的优势，我们使用径向隐函数来表示超形，并用以处理特别复杂的由几百个超形构成的大模型，而且这些超形又是能层次化全局变化的。文中所用的是机械零件的几个 CAD 模型，如刹车片、车杠和卡车轮轴。我们以前曾提出一种有效的方法，通过多次组合全局变形的超形来表达实体。基于此，我们将能保持微分属性的 R 函数用来将布尔谓词转换到分析函数中，即将层次化的变形与高效的、常用的且紧致的图元相结合。我们也定义了一个隐函数来刻画超形的内部和外部。而对于组合图元所得的物体，其相关的保持微分属性的隐函数，则通过使用 R 函数对其所属的图元的隐示表达进行简单组合来生成。于是，物体的内部或外部可由隐函数的势场是正或负来决定。物体的表面，即相应于所得隐函数的零集，可通过超形的参数化形式直接高效地生成多边形来表示。在此，超形的表面以所允许的精度进行采样生成，而它们的顶点和面片将根据隐函数的刻画来决定它们是否用于最终实体表面的生成。我们的方法保持了隐示技术和参数化技术的绝大多数有意义的特点：使用 R 函数可有效判定图元的哪些部分是需要保留的，图元的参数化表示可在允许的精度范围内用以高效地优化相交曲线所生成的网格。而传统的方法，一般关注于相交曲线的评价，再以此分割物体以便进行组合。我们的方法是首先确定需要保持的部分，然后生成逼近的相交曲线以构建物体。这样处理，便于表达两种尖锐边。其一是与超形参数的一些特别值相关的尖锐边能得到精确的采样。其二是超形相交所生成的尖锐边。在此，由于没有显示计算的方法能处理两个超形相交的情况，几个超形之间的相交曲线所对应的尖锐边只能进行 ε 精度控制来逼近生成。尽管相交曲线是逼近计算的，相关的顶点还是用超形的参数化形式计算的，表明它们属于隐函数的零集，但不会精确地位于理论上的相交曲线上。在近似计算相交曲线时，我们还使用另一个参数 δ来控制采样点的密度，以避免图元中不同部分由于采样强度或重要度的不同而在组合时出现裂缝或空洞的情况。由于每个结点是隐示形成的，各个结点相关的时间复杂度只与所考虑的顶点数目成线性关系，这样，基于几百个布尔运算构成的复杂 CSG树就能得到有效的表示。为增加可表达形状的范围，全局变形操作是需要考虑的，如 弯曲、渐细、扭曲等。特别是，这些变形计算是可层次化进行的，使得 CSG 树中的所有从根到叶子的结点都能进行变形。本文的工作，不是要对已有的复杂 CAD 模型进行反向工程，而是表明：即便有大量的布尔运算，我们的方法也能保持尖锐边；超形能很好地进行实体建模。