摘要: Bezier 曲线曲面是计算机辅助几何设计中最经典和广泛采用的理论之一。该理论可以在几乎任一基于 GUI软件应用和通用工具中找到应用，例如从专业的基于网格计算环境的CAD建模工具到流行的移动设备上Flash播放器(Bezier是普遍存在的!)。由于它相对丰富的表达、结构的精巧和众多的良好性能，Bezier 曲线曲面的应用甚至超过了它能力强大的 “ 兄弟 ” ? 非均匀有理 B样条(NURBS)。我们能够很快列出几个 Bezier 曲线曲面出众的性能如仿射不变 性， 凸包性和变量削减性等等。 最近， Lee和Park1发现了Bezier 曲线曲面另一个有趣的基本性质 : Bezier 曲线曲面可以被分解为称为肋形和扇形的固有分量。这种性质给了我们一个理解 Bezier 曲线的延伸框架。从概念上讲， Bezier 曲 线是由 de Casteljau递归算法定义的。这种定义非常直接易懂 : 它从一组控制顶点通过线性插值来得到所需 曲线。从计算效率角度来看， de Casteljau递归形式可以转化成使用Bernstein多项式重心坐标的显式形式。作为一个能处理连续分段 (有理) 多项式曲线 (如B样条和NURBS)的一般 化框架，我们可以从 blossom表达 的角度来考虑。然而，这些 框架都不能演示 Bezier 曲线固有的内在结构如肋形和扇形分解 (RFD)。举例来说，我们可以想象一个复杂的 Bezier 曲 线是如何逐渐退化到连接它端点的直线段 (或基 肋 )。着个概念可以 形态生成和 基于 肋形和扇形的变化来公式化 2。肋形和扇形分解的几何提取是从给定几何物体中分离出一个附加的矢量场。 ( 肋形和扇形对曲线和曲面同样适用，然而我们以下集中讨论 曲线情况 )。对于Bezier 曲 线而言，它的 肋形是从给定曲线中提取的另一种 Bezier 曲 线。 扇形则定义为给定曲线和肋形之间对应点的差。 肋形和扇形都具有 Bezier 曲 线的形式。然而值得注意的是， 扇形在仿射空间中并不是一个曲 线，它只是 矢量空间中的一个矢量场。 肋形和扇形的控制点和控制矢量由给定曲线的控制点通过线性组合的简单法则得到。 肋形和扇形的度数通常低于给定曲线的度数。 本文中我们基于以前的工作 1 给出了一些 Bezier 曲 线 肋形和扇形新的几何性质 : (1) 复合扇形的构造和分解 ; (2) 基于肋形不变量的变形 ; (3) 细分中的扇形连续。对于每一种 性质我们都给出了几个例子。由于给出的 性质都是 RFD 基本理论的重要延伸，它们可以用在各种不同的 CAGD应用中。 Bezier 曲 线的第一个性质是它能分解成一个基直线和一个成为复合 扇形的特殊矢量场。注意到一个 n阶Bezier 曲 线可以被分解为一个 1阶基 肋形加上一系列阶数由 0 到 n-2 的扇形组合。复合 扇形则定义为所有扇形的和。那么问题是如何将这个复合 扇形显式的表示为给定控制点的组合。本文中我们给出了这样一个 显式表示。基于这个性质，我们也可以用一个直线段和一个 矢量场 ( 而不是一组控制点 ) 来构建 Bezier 曲 线。如果 矢量场的阶数为 n-2，我们可以用以上的表达找到对应的 n阶Bezier 曲 线的控制点。 第二个性质与采用内部结构的 Bezier 曲 线的交互设计有关。从 肋形和扇形的分解中我们可以从给定的 n 阶 Bezier 曲 线定义 n-1个 肋形。每一个 肋形都有少于 n 的阶数而且它们的阶数都不相同。因此，从概念上不精确的来说，在给定 曲 线的下方都有一组洋葱分层式的 曲 线 (或 肋形 )。由于 Bernstein 多项 式的全局影响性，对于一个 阶数相对高的 Bezier 曲 线，通过改变每个控制点的位置来交互的控制 曲 线形状的方法并不直观。在这种情况下，我们选择一个 肋形再将它指定为一个约束 : 我们就可以修改曲 线但维持 指定的肋形不变。本文中我们阐述了这样一个描述给定 曲 线任意一对 肋形之间关系的显式表达 ; 没有肋形和扇形的概念，这个 显式表达的推导是不平凡的。于是我们展示这种关系可以被用来解决 Bezier 曲 线约束变形的问题。 最后我们解决给定曲 线细分后 肋形和扇形的连续性问题。以下这个事实是很清晰的 : 细分 曲 线的两个 肋形间是没有连续性的 ; 那么我们着重解决扇形的连续性问题。作为结论， 细分 曲 线的两个 扇形间是有一种特殊的连续性 : 当按一定比例增减后，它们是方向连续的。为此我们详细的推导出这个关系。我们相信这种性质对于将 RFD推广到分段 曲 线的情况是非常重要的。 RFD 是 Bezier 曲 线一个简单但很吸引人的性质。它很有趣是因为在经历了长时间广泛的研究后，我们仍然可以在这样一个 CAGD领域内拥有最经典理论的Bezier 曲 线上找到新的特性。我们期望在 Bezier 曲 线上仍然有未发现的魅力而 RFD会是探索它们的一个有力的工具。