摘要: 数字几何指的是物体的几何表示，用于在数字设备上对虚拟物体进行显示、观察、评价和操纵等等。因为几何模型是三维计算机图形应用的核心数据，所以数字几何处理的理论和方法一直都是计算机图形学的研究热点。从每年一届的计算机图形学大会ACM SIGGRAPH收录的论文中可以看到，和数字几何处理直接相关的研究工作占有相当大的比例。数字几何处理的研究内容主要包括：几何模型获取、曲面光顺、细分、多分辨率分析、参数化、网格编辑、几何压缩、形状比较以及基于点的模型等等。本文旨在介绍数字几何处理领域中一些最新进展，尤其是那些与微分几何紧密联系的研究工作，如：网格光顺，曲面参数化，和网格编辑。网格光顺是最基本的数字几何处理方法之一，通常用于平滑获取模型上的噪声。另外网格光顺的理论和算法还是网格多分辨率分析以及几何压缩的基础。网格光顺的基本要求是既要能够快速有效地平滑噪声，还要能够保持模型上的几何特征。本文将首先介绍最基本的网格光顺方法—Laplacian光顺法—及其数学原理，然后简单介绍几个以Laplacian光顺法为基础的各种无收缩光顺法和各项异性光顺法。曲面参数化是实现纹理映射、重采样、以及其他各种几何处理的基础，它的关键问题是如何减少参数化过程中的变形扭曲。本文将对目前的主要曲面参数化方面的工作进行总结，重点介绍调和映射、共形映射以及保积映射的基本原理，及其在平面参数化中的应用。本文将从能量优化的角度，阐述各种参数化方法数学本质，揭示各种参数化的方法之间的内在联系和区别。在网格编辑方面，本文将着重介绍近3年才兴起来的一种全新方法—梯度域网格编辑方法。这类方法起源于Poisson网格编辑方法和微分坐标编辑方法。本文通过对这两种方法进行分析，指出他们是本质上相同的两种方法。本文接着对梯度域网格编辑的各种新方法进行分析和归纳，重点阐述如何解决网格的局部旋转问题。本文还将介绍一些相关的微分几何概念，如法线方向，曲率，梯度，Laplacian，以及这些他们在离散的数字几何中的对应和计算方法，以便能够更好的理解各种数字几何处理方法的优缺点，以及为研究更好的数字几何处理方法提供一些基础知识。最后。本文还将简单的介绍数字几何处理中常用数值方法—求解大型、稀疏的线性方程组，帮助初学者实现和掌握一些基本的数字几何处理方法。