摘要: 水平集方法的基本思想是将低维的流形变形问题嵌入到高维空间解决。通常是将n维流形表示为n+1维空间中水平集函数的零水平集，然后n维流形的计算问题就转化为水平集函数的计算问题，最后提取出其零水平集作为结果。水平集方法可以方便地处理拓扑结构变化问题。在实体形变过程中，拓扑结构有时会发生变化，用参数形式表示的流形来追踪拓扑结构的改变是相当麻烦的。 若用隐式形式表示的流形来实现拓扑结构的改变则比较容易。自上世纪九十年代以来，隐式曲面，诸如四面体代数曲面和三棱柱代数曲面片已成功地应用于计算机图形学和曲面造型。但这些方法描述的大都是静态的曲面设计。这里所说的水平集方法允许曲面动态变形并能对其进行跟踪。曲面变形的驱动力是几何偏微分方程，这一方程来源于一般能量的变分。水平集方法数据结构简单，虽然将低维的问题嵌入高一维的空间中去求解增加了计算量。但是使用所谓的窄带技术，计算量的增加并不显著。水平集方法自上世纪八十年代末由Osher和Sethian提出以来，在许多领域得到了广泛的应用，其研究成果已经非常丰富，且有许多专著已经问世。经典的水平集方法使用连续的三线性水平集函数表示曲面，由于其较低的光滑度，产生的曲面经常崎岖不平。要得到较好的曲面，需要增加网格剖分的密度，但这会使得运算量显著增加。而且对于有噪声的数据，即使增加网格的密度，也未必会使曲面的质量提高。其次，从三线性水平集函数得到的二阶以上的导数均为零，这使得曲面的曲率计算失准。在许多曲面构造问题中，例如分子曲面的构造，所要构造的曲面至少一阶光滑。因此，使用光滑的水平集函数是非常必要的。最后，在曲面设计问题中，我们使用的方程通常是二阶和四阶几何偏微分方程，其中曲率的计算必不可少，因此使用具有二阶以上光滑度的水平集函数是必要的。基于以上原因，我们提出了高阶水平集方法。我们知道，二阶光滑的最低次样条函数是三次样条，因此我们使用了三向三次样条函数作为水平集函数。生物分子表面通常有三种曲面，它们是范德华面，溶剂可及面和溶剂排除面，其中的溶剂排除面是光滑曲面，可以使用所提出的高阶水平集方法进行重构。本文由一般能量出发，得到几何偏微分方程，然后使用样条函数作为水平集函数，给出了快速计算样条插值函数系数方法，详细研究了高阶水平集方法。并使用该方法进行了光滑生物分子曲面重构实验。所显示的结果充分表明了方法的有效性和高效性。