摘要: 近年来，基于偏微分方程的模型在图像处理的各个领域已经得到了广泛的应用。其中，利用二阶非线性偏微分方程对图像进行去噪已经被许多学者研究。虽然这种二阶偏微分方程能达到较好的去噪效果并且不会引起边界的过度光滑，但是它们经常会产生阶梯效应，这使得图像出现块状。后来，许多文献提出了利用高阶偏微分方程的方法来去除这种阶梯效应，但是它们却引起了图像边界的过度光滑。所以本文针对这个问题——如何防止阶梯效应又不会引起图像边界的过度光滑进行研究。

1．本文的创新点
本文给出了一个新的梯度保真项，通过将这个新的梯度保真项的Euler-Lagrange方程引入一些二阶非线性偏微分方程来防止他们引起的阶梯效应。
这个梯度保真项是通过平滑后的梯度（水平集的法向量）去逼近目标图像的梯度实现的。这里我们利用了全变分极小化（向量的Total Variation模型）来平滑图像的梯度或法向量，而不是直接进行高斯滤波。这是因为全变分极小化能很好的保持图像的边界，所以梯度或法向量不会像高斯滤波那样被过度光滑。
另外，对法向量的全变分极小化模型，我们采取向量的对偶方法求数值解，而不是传统的离散Euler-Lagrange方程。对偶方法相比传统的数值算法能极大地减少计算时间。

2．实现方法
首先，我们通过全变分极小化的方法平滑图像水平集的梯度或法向量，然后使得目标图像的梯度和平滑后的法向量充分接近（通过L2范数实现），这样就得到了我们的梯度保真项。然后，将这个梯度保真项的Euler-Lagrange方程联合到一些古典的二阶非线性偏微分方程，如Total Variation（ROF）模型，Perona-Malik模型和平均曲率模型，从而防止这些二阶偏微分方程产生的阶梯效应。本文中法向量的全变分极小化模型是通过Xavier Bresson 和Tony F. Chan提出的向量的对偶方法实现的。

3．结论及未来待解决的问题
基于试验结果我们可以得出以下结论：与TV（ROF）模型，Perona-Malik模型和平均曲率模型相比，我们的方法能有效地去除阶梯效应；并且与Zhu和Xia的方法，四阶偏微分方程（You）的方法相比，我们的方法能更好的保持图像的边界。同时我们的方法也具有更高的信噪比。本文中也提到了iterated ROF模型(Bregman 迭代)，它能更好地保持图像的细节特征，但是它仍然具有阶梯效应。
在未来的研究中，我们希望能借助于Bregman迭代方法来优化我们的模型，从而使我们的方法具有更好的保持图像细节的能力。

4．实用价值或应用前景
图像去噪有时可以作为其他图像处理任务的预处理步骤，所以，图像去噪应尽量好地保持图像的一些特征。但是阶梯效应能使图像产生假的边界，那么在利用二阶偏微分方程进行去噪预处理时，其他图像处理任务如图像分割就不可能得到好的效果。这样，防止阶梯效应就显得十分重要。另外，许多产生阶梯效应的二阶偏微分方程都可以联合这样的梯度保真项以防止阶梯效应的产生。总之，本文的方法具有很重要的价值和很好的应用前景。